Question

如圖，梯形OABC中，O為直角坐標(biāo)系的原點，A、B、C的坐標(biāo)分別為A（14，0）、B（14，3）、C（4，3），點P、Q為兩動點，同時從原點出發(fā)，分別作勻速運動，其中P點沿OA向終點A運動，速度為每秒1個單位；點Q沿OC、CB向終點B運動，速度為每秒2個單位．且當(dāng)這兩點中有一點到達(dá)自己的終點時，另一點也停止運動．設(shè)運動的時間為t秒．
（1）寫出點Q分別在OC和CB上時的坐標(biāo)（用含t 的代數(shù)式表示）．
（2）是否存在t的值，使得OPQC為等腰梯形？若存在，求出相應(yīng)的t 值和P、Q兩點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）是否存在t的值，使得PQ把梯形OABC的面積分成相等的兩部分？若存在，求出相應(yīng)的t值和P、Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直角梯形,點的坐標(biāo),三角形的面積,等腰梯形的判定

專題：動點型

分析：（1）過點C作CD⊥x軸于點D，根據(jù)勾股定理求出OC的長，然后利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式即可求出當(dāng)點Q在OC上時的坐標(biāo)；當(dāng)點Q在CB上時求出CQ的長度，然后根據(jù)縱坐標(biāo)不變寫出坐標(biāo)即可；
（2）先求出時間t的取值范圍，再過Q作QE⊥x軸于點E，分別表示出CQ與DE的長度，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)CQ=DE，然后代入進行計算求出t的值，若符合題意則存在，否則不存在；
（3）假設(shè)存在，然后根據(jù)梯形OABC的面積與梯形OPQC的面積列出算式，解方程得到t的值，如果在范圍內(nèi)，則存在，否則不存在．

解答：解：（1）過點C作CD⊥x軸于點D，
∵C（4，3），
∴OD=4，CD=3，
OC=

OD2+CD2

=

42+32

=5，
①點Q在OC上時，設(shè)Q點坐標(biāo)為（x，y），
則

x

4

=

y

3

=

2t

5

，
接到的x=

8

5

t，y=

6

5

t，
∴點Q的坐標(biāo)是（

8

5

t，

6

5

t）；
②點Q在CB上時，點Q的橫坐標(biāo)是2t-5+4=2t-1，
縱坐標(biāo)是3，
∴點Q的坐標(biāo)是（2t-1，3）；

（2）點P到達(dá)終點A的時間為：14÷1=14秒，
點Q到達(dá)終點B的時間為：（14-4+5）÷2=7.5秒，
∵有一點到達(dá)自己的終點時，另一點也停止運動，
∴運動時間t的取值范圍是0≤t≤7.5，
設(shè)存在t的值，使得OPQC為等腰梯形，
過點Q作QE⊥x軸于點E，則DE=t-4×2=t-8，
CQ=2t-OC=2t-5，
∴t-8=2t-5，
解得t=-3，不符合題意，
∴不存在t的值，使得OPQC為等腰梯形；

（3）梯形OABC的面積=

1

2

（14-4+14）×3=36，
∵CQ=2t-5，OP=t，
∴梯形OPQC的面積=

1

2

（2t-5+t）×3=

9t-15

2

，
∵PQ把梯形OABC的面積分成相等的兩部分，
∴

9t-15

2

=

1

2

×36，
解得t=

17

3

秒，
∵0＜

17

3

＜7.5，
∴存在t=

17

3

，使得PQ把梯形OABC的面積分成相等的兩部分，
此時，點P的坐標(biāo)是（

17

3

，0），
點Q的橫坐標(biāo)是2×

17

3

-1=

31

3

，縱坐標(biāo)是3，
∴點Q的坐標(biāo)是（

31

3

，3）．

點評：本題綜合考查了直角梯形，等腰梯形的性質(zhì)，以及點的坐標(biāo)，理清點P與點Q的運動過程以及相關(guān)的線段的長度的表示是解題的關(guān)鍵．