【題目】我們把方程(x- m)2+(y-n)2=r2稱為圓心為(m,n)、半徑長(zhǎng)為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.例如,圓心為(1,-2)、半徑長(zhǎng)為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x- 1)2+(y+2)2=9.在平面直角坐標(biāo)系中,圓C與軸交于點(diǎn)A.B.且點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8.0),與y軸相切于點(diǎn)D(0, 4),過點(diǎn)A,B,D的拋物線的頂點(diǎn)為E.
(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)試判斷直線AE與圓C的位置關(guān)系,并說明理由.
【答案】(1);(2)相切,理由見解析
【解析】
(1)連接CD,CB,過C作CF⊥AB,分別表示出BF和CF,再在△BCF中利用勾股定理構(gòu)造方程求解即可得到圓C半徑以及點(diǎn)C坐標(biāo),從而得到標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)由(1)可得點(diǎn)A坐標(biāo),求出拋物線表達(dá)式,得到點(diǎn)E坐標(biāo),再求出直線AE的表達(dá)式,聯(lián)立直線AE和圓C的表達(dá)式,通過判斷方程根的個(gè)數(shù)即可得到兩者交點(diǎn)個(gè)數(shù),從而判斷位置關(guān)系.
解:連接CD,CB,過C作CF⊥AB,
∵點(diǎn)D(0,4),B(8,0),設(shè)圓C半徑為r,圓C與y軸切于點(diǎn)D,
則CD=BC=OF=r,CF=4,
∵CF⊥AB,
∴AF=BF=8-r,
在△BCF中,,
即,
解得:r=5,
∴CD=OF=5,即C(5,4),
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為:;
(2)由(1)可得:BF=3=AF,則OA=OB-AB=2,
即A(2,0),
設(shè)拋物線表達(dá)式為:,將A,B,D坐標(biāo)代入,
,解得:,
∴拋物線表達(dá)式為:,
∴可得點(diǎn)E(5,),
設(shè)直線AE表達(dá)式為:y=mx+n,將A和E代入,
可得:,解得:,
∴直線AE的表達(dá)式為:,
∵圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為,
聯(lián)立,
解得:x=2,
故圓C與直線AE只有一個(gè)交點(diǎn),橫坐標(biāo)為2,
即圓C與直線AE相切.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】據(jù)調(diào)查:超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因之一.小明用所學(xué)知識(shí)對(duì)一條筆直公路上車輛進(jìn)行測(cè)速,如圖所示,觀測(cè)點(diǎn)C到公路的距離CD=200m,檢測(cè)路段的起點(diǎn)A位于點(diǎn)C的南偏東60°方向上,終點(diǎn)B位于點(diǎn)C的南偏東45°方向上,一輛轎車由東向西勻速行駛,測(cè)得此車由A處行駛到B處時(shí)的時(shí)間為10s,問此車是否超過了該路段10m/s的限制速度?(觀測(cè)點(diǎn)C離地面的距離忽略不計(jì),參專數(shù)據(jù):1.41,1.73)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l1:y=﹣x與反比例函數(shù)y=的圖象交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),已知A點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-4;
(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)根據(jù)圖象直接寫出﹣x﹤的解集;
(3)將直線l1:y=x沿y向上平移后的直線l2與反比例函數(shù)y=在第二象限內(nèi)交于點(diǎn)C,如果△ABC的面積為20,求平移后的直線l2的函數(shù)表達(dá)式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】每年夏天全國(guó)各地總有未成年人因溺水而喪失生命,令人痛心疾首.今年某中學(xué)為確保學(xué)生安全,開展了“遠(yuǎn)離溺水,真愛生命”的防溺水安全競(jìng)賽.學(xué)校對(duì)參加比賽的學(xué)生獲獎(jiǎng)情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)結(jié)合圖中相關(guān)數(shù)據(jù)解答下列問題.
參加此安全競(jìng)賽的學(xué)生共有 人;
在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,“三等獎(jiǎng) ”所對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角的度數(shù)為 ;
將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
獲得一等獎(jiǎng)的學(xué)生中,人來自七年級(jí),人來自八年級(jí), 人來自九年級(jí).學(xué)校決定從獲得一等獎(jiǎng)的學(xué)生中任選兩名學(xué)生參加全市防漏水安全競(jìng)賽,請(qǐng)通過列表或樹狀圖方法求所選兩名學(xué)生中,恰好是一名七年級(jí)和一名九年級(jí)學(xué)生的概率.
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,以AB為直徑的半圓O經(jīng)過點(diǎn)C,D.AC與BD相交于點(diǎn)E,CD2=CE·CA,分別延長(zhǎng)AB,DC相交于點(diǎn)P,PB=BO,CD=2.則BO的長(zhǎng)是_________.
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【題目】如圖,一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于,兩點(diǎn),與軸分別交于兩點(diǎn),且.
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;
(2)若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,連接,求的面積.
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【題目】如圖,已知是圓的直徑,是圓上一點(diǎn),的平分線交于點(diǎn),交的切線于點(diǎn),過點(diǎn)作,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).
(1)求證:是的切線;
(2)若,,
①求的值;②若點(diǎn)為上一點(diǎn),求最小值.
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【題目】如圖1,是全國(guó)最大的瓷碗造型建筑,座落于江西景德鎮(zhèn),整體造型概念來自“宋代影青斗笠碗”,造型莊重典雅,象征“萬瓷之母”.小敏為了計(jì)算該建筑物橫斷面(瓷碗橫斷面ABCD為等腰梯形)的高度,如圖2,她站在與瓷碗底部AB位于同一水平面的點(diǎn)P處測(cè)得瓷碗頂部點(diǎn)D的仰角為45°,而后沿著一段坡度為0.44(坡面與水平線夾角的正切值)的小坡PQ步行到點(diǎn)Q(此過程中AD,AP,PQ始終處于同一平面)后測(cè)得點(diǎn)D的仰角減少了5°.已知坡面PQ的水平距離為20米,小敏身高忽略不計(jì),試計(jì)算該瓷碗建筑物的高度.(參考數(shù)據(jù):sin 40°≈0.64,tan 40°≈0.84)
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,OABC的頂點(diǎn)C在x軸上,函數(shù)y=(k>0,x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(2,6),且與邊BC交于點(diǎn)D.若點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn),則OC的長(zhǎng)為( 。
A. 2B. 2.5C. 3.5D. 3
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