Question

如圖，矩形ABCD中，AC、BD交于O點，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，且∠CDF=60°，CF=

3

cm．
（1）求證：四邊形BCFE是等腰梯形；
（2）求這個梯形的周長．

Answer 1

考點：等腰梯形的判定,矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）運用△BOE≌△COF得出BE=CF及∠OEF=∠OFE=∠OCB=∠OBC，從而求出EF∥BC，得出四邊形BCFE是等腰梯形．
（2）先得了△OCD是等邊三角形，得出EF是中位線，再求出各邊長，相加求出梯形的周長．

解答：證明：（1）∵矩形ABCD中，AC、BD交于O點，
∴BO=CO
又∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，
∴∠BEO=∠CFO=90°
又∵∠BOE=∠COF
在△BOE和△COF中，

∠BEO=∠CFO ∵∠BOE=∠COF BO=CO

，
∴△BOE≌△COF（AAS）
∴EO=FO，BO=CO
又∵∠EOF=∠COB
∴∠OEF=∠OFE=∠OCB=∠OBC
∴EF∥BC
又∵BE=CF
∴四邊形BCFE是等腰梯形；

（2）解：∵∠CDF=60°，CF=

3

cm．
∴在Rt△BCD中∠CBF=30°
∴BC=2CF=2

3

cm
∵在矩形ABCD中，∠CDF=60°，且OC=OD，
∴△OCD是等邊三角形，
又∵CF⊥OD，
∴OF=FD，
同理，OE=EA，
∴在三角形OAD中，EF是中位線，
∴EF=

AD

2

∵BC=AD=2

3

cm
∴EF=

3

cm
又∵BE=CF=

3

∴等腰梯形BCFE周長是：CF+BC+BE+EF=

3

+2

3

+

3

+

3

=5

3

（cm）

點評：本題主要考查了等腰梯形的判定及全等三角形的判定和三角形中位線的靈活運用．