【題目】(1)如圖,點C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果,那么稱線段AB被點C黃金分割,點C叫做線段AB的黃金分割點,AC與AB的比叫做黃金比.請計算黃金比。
(2)已知:如圖,已知△ABC∽△DEF,
求證:相似三角形面積的比等于相似比的平方
【答案】(1).;(2)證明見解析.
【解析】
(1)設(shè)AC=a,BC=b,由題意列式,整理得出關(guān)于的一元二次方程,令=t,解關(guān)于t的一元二次方程即可;(2)作AG⊥BC交BC于點G,作DH⊥EF交EF于點H,設(shè)兩個三角形的相似比為k,由已知條件不難證明△ABG∽△DEH,從而得出AG與DH的比值,再根據(jù)三角形面積公式列式計算出△ABC與△DEF的面積之比即可.
(1)設(shè)AC=a,BC=b,
則=,整理可得a2﹣ab﹣b2=0,
∴2﹣﹣1=0,
令=t,t2﹣t﹣1=0,
解得t=(負(fù)值舍去),
∴t=,
∴黃金比為;
(2)證明:作AG⊥BC交BC于點G,作DH⊥EF交EF于點H,設(shè)兩個三角形的相似比為k,
∴∠AGB=∠DHE=90°,
∵△ABC∽△DEF,
∴==k,∠B=∠E,
∴△ABG∽△DEH,
∴==k,
∴==k2.
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【題目】觀察與思考:閱讀下列材料,并解決后面的問題
在銳角△ABC中,∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c,過A作AD⊥BC于D(如圖(1)),則sinB=,sinC=,即AD=csinB,AD=bsinC,于是csinB=bsinC,即,同理有:,,所以.
即:在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等在銳角三角形中,若已知三個元素(至少有一條邊),運用上述結(jié)論和有關(guān)定理就可以求出其余三個未知元素.
根據(jù)上述材料,完成下列各題.
(1)如圖(2),△ABC中,∠B=45°,∠C=75°,BC=60,則∠A= ;AC= ;
(2)自從去年日本政府自主自導(dǎo)“釣魚島國有化”鬧劇以來,我國政府靈活應(yīng)對,現(xiàn)如今已對釣魚島執(zhí)行常態(tài)化巡邏.某次巡邏中,如圖(3),我漁政204船在C處測得A在我漁政船的北偏西30°的方向上,隨后以40海里/時的速度按北偏東30°的方向航行,半小時后到達(dá)B處,此時又測得釣魚島A在的北偏西75°的方向上,求此時漁政204船距釣魚島A的距離AB.(結(jié)果精確到0.01,≈2.449)
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【題目】閱讀下面材料:
在學(xué)習(xí)《圓》這一章時,老師給同學(xué)們布置了一道尺規(guī)作圖題:
尺規(guī)作圖:過圓外一點作圓的切線.
已知:P為⊙O外一點.
求作:經(jīng)過點P的⊙O的切線.
小敏的作法如下:如圖,
(1)連接OP,作線段OP的垂直平分線MN交OP于點C.
(2)以點C為圓心,CO的長為半徑作圓,交⊙O于A,B兩點.
(3)作直線PA,PB.
老師認(rèn)為小敏的作法正確.
請回答:連接OA,OB后,可證∠OAP=∠OBP=90°,其依據(jù)是 ;由此可證明直線PA,PB都是⊙O的切線,其依據(jù)是 .請寫出證明過程.
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【題目】如圖,在△ ABC中,AB=AC,點D在線段BC上,AD=BD,△ ADC是等腰三角形,求△ABC三個內(nèi)角的度數(shù)。
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【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,點A(2,0),點B (0,1),過點A的直線l垂直于線段AB,點P是直線l上一動點,過點P作PC⊥x軸,垂足為C,把△ACP沿AP翻折,使點C落在點D處,若以A,D,P為頂點的三角形與△ABP相似,則所有滿足此條件的點P的坐標(biāo)為___________________________.
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【題目】如圖,正方形ABCD中,以AD為底邊作等腰△ADE,將△ADE沿DE折疊,點A落到點F處,連接EF剛好經(jīng)過點C,再連接AF,分別交DE于點G,交CD于點H,下列結(jié)論:①△ABM≌△DCN;②∠DAF=30°;③△AEF是等腰直角三角形;④EC=CF;⑤,其中正確的有__________.
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【題目】“五一”節(jié)假期間,小亮一家到某度假村度假,小亮和他媽媽坐公交車先出發(fā),他爸爸自駕車沿著相同的道路后出發(fā),他爸爸到達(dá)度假村后,發(fā)現(xiàn)忘了東西在家里,于是立即返回家里取,取到東西后又馬上駕車前往度假村,如圖是他們家的距離()與小明離家的時間的關(guān)系圖,請根據(jù)圖回答下列問題:
(1)小亮和媽媽坐公交車的速度為 ;爸爸自駕的速度為 .
(2)小亮從家到度假村期間,他離家的距離與離家的時間的關(guān)系式為 ;小亮從家到度假村的路途中,當(dāng)他與他爸爸相遇時,離家的距離是 .
(3)整個運動過程中(雙方全部到達(dá)會和時,視為運動結(jié)束),為多少時小亮和媽媽與爸爸相距?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,AC平分∠DAB,AC2=ABAD,∠ADC=90°,E為AB的中點.
(1)求證:△ADC∽△ACB;
(2)CE與AD有怎樣的位置關(guān)系?試說明理由;
(3)若AD=4,AB=6,求的值.
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