Question

如圖，A、B兩個(gè)小集鎮(zhèn)在河流l的同側(cè)，分別到河的距離為AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，現(xiàn)在要在河邊建一自來水廠，向A、B兩鎮(zhèn)供水．
（1）請你在河流l上選擇水廠的位置M，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最節(jié)省？
（2）若鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米3萬元，請你求出（1）中鋪設(shè)水管的費(fèi)用是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：先作點(diǎn)A的對稱點(diǎn)A′，連接點(diǎn)B和點(diǎn)A′，交l于點(diǎn)M，M即所求作的點(diǎn)，過點(diǎn)A′作AA′的垂線，延長BD交AA′于點(diǎn)K，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，知：MA+MB=A′B．根據(jù)勾股定理即可求解．

解答：解：（1）作A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交l于點(diǎn)M，點(diǎn)M即為所求．
如圖所示：

（2）過點(diǎn)A′作A′K⊥BD，交BD的延長線于點(diǎn)K．
∵AC∥BD，CD∥A′K，
∴A′K=CD=60千米，BK=BD+DK=60+20=80千米，
在Rt△A′BK中，
A′B=

A′K2+BK2

=

302+402

=50（千米）．
∴AM+MB=50．
即鋪設(shè)水管的最短長度為50千米，
∵鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米3萬元，
∴所需費(fèi)用=50×3=150（萬元）．
答：鋪設(shè)水管的費(fèi)用是150萬元．

點(diǎn)評：本題考查的是軸對稱-最短路線問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．