Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，4），B（5，0）和原點(diǎn)O，P為二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D（m，0），并與直線OA相較于點(diǎn)C．

（1）求出二次函數(shù)的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線OA的上方時(shí)，求線段PC的最大值；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在直線OA的上方時(shí)，是否存在一點(diǎn)P，使射線OP平分∠AOy，若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在．請(qǐng)說(shuō)明理由；

（4）當(dāng)m＞0時(shí)，探索是否存在點(diǎn)P，使得△PCO為等腰三角形，若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+5x；（2）4；（3）存在，P(4﹣，2+3)；（4）存在，P(4﹣，2+3)

【解析】

（1）由待定系數(shù)法將A（4，4），B（5，0）代入二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx即可；

（2）求出OA的解析式，將P，C的縱坐標(biāo)用含m的代數(shù)式表示出來(lái)，再表示出PC的長(zhǎng)度，用函數(shù)的思想即可求出其最大值；

（3）存在，如圖，當(dāng)射線OP平分∠AOy時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M，作PN⊥OA于點(diǎn)N，則PM＝PN，證△ODC和△PCN是等腰直角三角形，可用含m的代數(shù)式分別表示出PM，PN的長(zhǎng)度，解等式即可求出m的值，進(jìn)一步寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（4）存在，當(dāng)△PCO為等腰三角形時(shí)，只存在PC＝OC一種情況，用含m的代數(shù)式表示出PC，OC的長(zhǎng)，解方程即可求出m的值，進(jìn)一步寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：（1）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，

∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx，

將A（4，4），B（5，0）代入，

得，

解得，a＝﹣1，b＝5，

∴y＝﹣x2+5x；

（2）設(shè)直線OA的解析式為y＝ax，

將A（4，4）代入，

得，a＝1，

∴yOA＝x，

∵PD⊥x軸，D（m，0），

∴P（m，﹣m2+5m），C（m，m），

∴PC＝﹣m2+5m﹣m

＝﹣m2+4m

＝﹣（m﹣2）2+4，

根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知，當(dāng)m＝2時(shí)，PC有最大值，其最大值為4；

（3）存在，理由如下：

如圖，當(dāng)射線OP平分∠AOy時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M，作PN⊥OA于點(diǎn)N，

則PM＝PN，

∵點(diǎn)C在直線yOA＝x上，

∴△ODC是等腰直角三角形，

∴∠OCD＝∠PCN＝45°，

∴△PCN是等腰直角三角形，

由（2）知，PC＝﹣m2+4m，

∴PN＝（﹣m2+4m）＝﹣m2+2m，

∵P（m，﹣m2+5m），

∴PM＝m，

∵PM＝PN，

∴m＝﹣m2+2m，

解得，m1＝0（舍去），m2＝4﹣，

∴P（4﹣，2+3）；

（4）存在，理由如下：

∵∠PCO＝180°﹣∠OCD＝135°，

∴當(dāng)△PCO為等腰三角形時(shí)，只存在PC＝OC一種情況，

由（2）知，PC＝﹣m2+4m，OC＝OD＝m，

∴﹣m2+4m＝m，

解得，m1＝0（舍去），m2＝4﹣，

∴當(dāng)m＝4﹣時(shí)，﹣m2+5m＝2+3，

∴P（4﹣，2+3）．