Question

【題目】（滿分10分）已知二次函數(shù)y=﹣x2+2x+m．

（1）如果二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍；

（2）如圖，二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)A（3，0），與y軸交于點(diǎn)B，求直線AB與這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

（3）在直線AB上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)D，當(dāng)D與直線AB的距離DE最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求DE最大距離是多少？

Answer 1

【答案】(1) m>-1;(2) 直線AB的解析式為y=-x+3, 拋物線解析式為y=-x2+2x+3;(3) DE的最大值為.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，△>0，即可得到結(jié)論；

（2）把點(diǎn)A（3，0）代入y=-x2+2x+m得到-9+6+m=0得到B（0，3），解方程組即可得到結(jié)論；

（3）過點(diǎn)D作y軸的垂線，垂足為C，再過點(diǎn)A作AG⊥CD，垂足為G，連接BD，AD，得到當(dāng)DE的值越大時(shí)，S△ADB的面積越大，設(shè)D（x，y），DC=x，BC=y-3，DG=3-x，AG=y根據(jù)圖形的面積公式即可得到結(jié)論．

試題解析：

（1）當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，△>0，即4+4m>0，

∴m>-1.

（2） ∵點(diǎn)A(3，0)在拋物線y=-x2+2x+m上，

∴-9+6+m=0,∴m=3.

∴拋物線解析式為y=-x2+2x+3，且B(0，3).

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，將A(3，0)，B(0，3)代入y=kx+b中，得到

解得，∴直線AB的解析式為y=-x+3.

（3）過點(diǎn)D作y軸的垂線，垂足為C，再過點(diǎn)A作AG⊥CD，垂足為G，連接BD，AD.

∵AB為定值，∴當(dāng)DE的值越大時(shí)， 的面積越大.

設(shè)D(x，y),DC=x，BC=y-3，DG=3-x，AG=y

∴

∵∴當(dāng)時(shí),

將代入y=-x2+2x+3，得到，即D(， )

又∵，且

∴.

∴

答：DE的最大值為.