Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OCDE的三個(gè)頂點(diǎn)分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4）.以A為頂點(diǎn)的拋物線過(guò)點(diǎn)C，且對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)B，連結(jié)EC，AC，點(diǎn)P、Q為動(dòng)點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒。

（1）直接寫(xiě)出A點(diǎn)坐標(biāo)，并求出該拋物線的解析式；

（2）在圖1中，若點(diǎn)P在線段OC上從點(diǎn)O向點(diǎn)C以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線段CE上從點(diǎn)C向點(diǎn)E以2個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)t為何值時(shí)，為直角三角形？

（3）在圖2中，若點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸上從點(diǎn)B開(kāi)始向點(diǎn)A以2個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作，交AC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)G，交拋物線于點(diǎn)Q，連結(jié)AQ，CQ.當(dāng)t為何值時(shí)，的面積最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）A的坐標(biāo)為（1，4），；（2）當(dāng)或時(shí)，為直角三角形；（3）當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值為1.

【解析】

（1）由矩形的性質(zhì)可直接求得A點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)頂點(diǎn)式方程，把C點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得拋物線的解析式；
（2）根據(jù)題意表示出P，Q點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出PQ所在直線解析式，進(jìn)而將D點(diǎn)代入求出答案；
（3）先求得直線AC的解析式，可分別用t表示出P點(diǎn)和Q點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求得FQ的長(zhǎng)，可用t表示出△ACQ的面積，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值．

解：（1）∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，矩形OCDE的三個(gè)頂點(diǎn)分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4）

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4）

設(shè)拋物線的解析式為：

把C（3，0）代入拋物線解析式，可得：

解得：

故拋物線的解析式為：，即

（2）由題意得：，

∴

當(dāng)時(shí)

∵

∴ 解得：

當(dāng)時(shí)

∵

∴ 解得：

∴當(dāng)或時(shí)，為直角三角形

（3）∵A（1，4），C（3，0）

設(shè)直線AC的解析式為：

解得：

故直線AC的解析式為：

∵P（1，），將代入得，

∴Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：

將代入中，得

∴Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：

∴

∴

即

∴當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值為1