Question

問題情境：將一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按圖1所示的方式擺放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中點，點D與點O重合，DF⊥AC于點M，DE⊥BC于點N，試判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

探究展示：小宇同學展示出如下正確的解法：

【解析】
OM=ON，證明如下：

連接CO，則CO是AB邊上中線，

∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分線．（依據(jù)1）

∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON．（依據(jù)2）

反思交流：

（1）上述證明過程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指：

依據(jù)1： ；

依據(jù)2： ．

（2）你有與小宇不同的思考方法嗎？請寫出你的證明過程．

拓展延伸：

（3）將圖1中的Rt△DEF沿著射線BA的方向平移至如圖2所示的位置，使點D落在BA的延長線上，F(xiàn)D的延長線與CA的延長線垂直相交于點M，BC的延長線與DE垂直相交于點N，連接OM、ON，試判斷線段OM、ON的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并寫出證明過程．

 

Answer 1

（1）依據(jù)1為：等腰三角形三線合一（或等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合），依據(jù)2為：角平分線上的點到角的兩邊距離相等；

（2）見解析；

（3）OM=ON，OM⊥ON．理由見解析．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線性質(zhì)得出即可；

（2）證△OMA≌△ONB（AAS），即可得出答案；

（3）求出矩形DMCN，得出DM=CN，△MOC≌△NOB（SAS），推出OM=ON，∠MOC=∠NOB，得出∠MOC-∠CON=∠NOB-∠CON，求出∠MON=∠BOC=90°，即可得出答案．

（1）【解析】
依據(jù)1為：等腰三角形三線合一（或等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合），依據(jù)2為：角平分線上的點到角的兩邊距離相等．

（2）證明：∵CA=CB，

∴∠A=∠B，

∵O是AB的中點，

∴OA=OB．

∵DF⊥AC，DE⊥BC，

∴∠AMO=∠BNO=90°，

∵在△OMA和△ONB中

，

∴△OMA≌△ONB（AAS），

∴OM=ON． 

（3）【解析】
OM=ON，OM⊥ON．理由如下：

如圖2，連接OC，

∵∠ACB=∠DNB，∠B=∠B，

∴△BCA∽△BND，

∴，

∵AC=BC，

∴DN=NB．

∵∠ACB=90°，

∴∠NCM=90°=∠DNC，

∴MC∥DN，

又∵DF⊥AC，

∴∠DMC=90°，

即∠DMC=∠MCN=∠DNC=90°，

∴四邊形DMCN是矩形，

∴DN=MC，

∵∠B=45°，∠DNB=90°，

∴∠3=∠B=45°，

∴DN=NB，

∴MC=NB，

∵∠ACB=90°，O為AB中點，AC=BC，

∴∠1=∠2=45°=∠B，OC=OB（斜邊中線等于斜邊一半），

在△MOC和△NOB中

，

∴△MOC≌△NOB（SAS），

∴OM=ON，∠MOC=∠NOB，

∴∠MOC-∠CON=∠NOB-∠CON，

即∠MON=∠BOC=90°，

∴OM⊥ON．

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)．