Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連結AP并延長交B于點D，則下列說法中正確的個數(shù)是（　�。�

①AD是∠BAC的平分線；②∠ADC=60°；③點D在AB的中垂線上；④S△DAC：S△ABC=1：3．

A．1 B．2 C．3 D．4

 

Answer 1

D.

【解析】

試題分析：①根據(jù)作圖的過程可知，AD是∠BAC的平分線．故①正確；

②如圖，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．

又∵AD是∠BAC的平分線，

∴∠1=∠2=∠CAB=30°，

∴∠3=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正確；

③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴點D在AB的中垂線上．故③正確；

④∵如圖，在直角△ACD中，∠2=30°，∴CD=AD，

∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD．

∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD，

∴S△DAC：S△ABC=AC•AD：AC•AD=1：3．故④正確．

綜上所述，正確的結論是：①②③④，共有4個．

故選D．

考點: 1.角平分線的性質(zhì)；2.線段垂直平分線的性質(zhì)；3.作圖—基本作圖．