Question

如圖，在等邊△ABC邊上取中點D，BC延長線取一點E，使得CE=CD，DF⊥BE，AB=a．
（1）求證：BD=DE；
（2）求BF的長．

Answer 1

考點：等邊三角形的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠DBC=30°，∠ACB=60°，再根據(jù)角之間的關(guān)系可得到∠DBC=∠E=30°，即BD=DE．
（2）通過解直角三角形即可求得．

解答：證明：（1）在等邊△ABC中，
∴∠ACB=60°，AB=BC，∠ABC=60°，
∵D為AC的中點，
∴∠DBC=

1

2

∠ABC=

1

2

×60°=30°，
∵DC=CE，
∴∠E=∠CDE．
∵∠ACB=∠E+∠EDC=60°，
∴∠E=∠CDE=30°．
∴∠DBC=∠DEC=30°．
∴BD=DE．

（2）∵在等邊△ABC中，D為AC的中點，
∴BD⊥AC，
∴BD=AB•sin60°=

3

2

a，
∵DF⊥BE，
∴BF=BD•cos30°=

3

2

×

3

2

a=

3

4

a．

點評：此題主要考查學(xué)生對等邊三角形的性質(zhì)的理解及運用，應(yīng)用直角三角函數(shù)解直角三角形；進(jìn)行角的等量代換是正確解答本題的關(guān)鍵．