Question

【題目】在△ABC中，∠C>∠B．如圖①，AD⊥BC于點D，AE平分∠BAC．

（1）如圖①，AD⊥BC于點D，AE平分∠BAC，能猜想出∠DAE與∠B、∠C之間的關系是什么？并說明理由．

（2）如圖②，AE平分∠BAC，F為AE上的一點，且FD⊥BC于點D，這時∠EFD與∠B、∠C有何數(shù)量關系？請說明理由．

（3）如圖③，AE平分∠BAC，F為AE延長線上的一點，FD⊥BC于點D，請你寫出這時∠EFD與∠B、∠C之間的數(shù)量關系(只寫結論，不必說明理由)．

Answer 1

【答案】（1），證明詳見解析；（2），證明詳見解析；（3）

【解析】

（1）由圖不難發(fā)現(xiàn)∠EAD=∠EAC-∠DAC，再根據(jù)三角形的內角和定理及其推論結合角平分線的定義分別用結論中出現(xiàn)的角替換∠EAC和∠DAC．

（2）由角平分線的性質和三角形的內角和得出∠BAE=90°-（∠C+∠B），外角的性質得出∠AEC=90°+（∠B-∠C），在△EFD中，由三角形內角和定理可得∠EFD；
（3）與（2）的方法相同．

證明：（1）∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=∠CAE=∠BAC
∵∠BAC=180°-（∠B+∠C）
∴∠EAC= [180°-（∠B+∠C）]
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=90°-∠C，
∵∠EAD=∠EAC-∠DAC
∴∠EAD= [180°-（∠B+∠C）]-（90°-∠C）=（∠C-∠B）．
（2）∠EFD=（∠C-∠B）
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE==90°-（∠C+∠B），
∵∠AEC為△ABE的外角，
∴∠AEC=∠B+90°-（∠C+∠B）=90°+（∠B-∠C），
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°．
∴∠EFD=90°-90°-（∠B-∠C）
∴∠EFD=（∠C-∠B）
（3）∠EFD=（∠C-∠B）．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=．
∵∠DEF為△ABE的外角，
∴∠DEF=∠B+ =90°+（∠B-∠C），
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°．
∴∠EFD=90°-90°-（∠B-∠C），
∴∠EFD=（∠C-∠B）．