Question

15．如圖，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB=AD=2，CD=4，將三角形ABD沿BD翻折，使面ABD⊥面BCD．
（Ⅰ） 求線段AC的長(zhǎng)度；
（Ⅱ） 求證：AD⊥平面ABC．

Answer 1

分析 法一：
（Ⅰ）取CD中點(diǎn)E，連接BE，推導(dǎo)出四邊形ABDE為正方形，BD⊥BC，從而B(niǎo)C⊥面ABD，由此能求出線段AC的長(zhǎng)度．
（Ⅱ）由BC⊥面ABD，得BC⊥AD，又AB⊥AD，由此能證明AD⊥平面ABC．
法二：
（Ⅰ）取CD中點(diǎn)E，連接BE，推導(dǎo)出四邊形ABDE為正方形，BD⊥BC，取BD中點(diǎn)F，連接AF，CF，則AF⊥面BCD，由此能求出線段AC的長(zhǎng)度．
（Ⅱ）由勾股定理得AD⊥AC，又AB⊥AD，由此能證明AD⊥平面ABC．

解答 解法一：
解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，
取CD中點(diǎn)E，連接BE，因?yàn)锳B⊥AD，AB=AD=2，
所以$BD=2\sqrt{2}$，又$DE=\frac{1}{2}DC=2，AB∥CD$，
所以四邊形ABDE為正方形，即有BE=2，BE⊥CD，
所以$BC=\sqrt{B{E^2}+E{C^2}}=2\sqrt{2}$…（2分）
在△BCD中，$B{D^2}+B{C^2}={（{2\sqrt{2}}）^2}+{（{2\sqrt{2}}）^2}=16=C{D^2}$，所以BD⊥BC，
翻折之后，仍有BD⊥BC…（3分）
又面ABD⊥面BCD，面ABD∩面BCD=BD，BC?面BCD，所以BC⊥面ABD…（6分）
又AB?面ABD，所以BC⊥AB…（7分）
所以$AC=\sqrt{A{B^2}+B{C^2}}=\sqrt{{2^2}+{{（{2\sqrt{2}}）}^2}}=2\sqrt{3}$…（8分）
證明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知BC⊥面ABD，又AD?面ABD，所以BC⊥AD，…（10分）
又AB⊥AD，AB∩BC=B，所以AD⊥平面ABC．…（12分）
解法二：
解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，取CD中點(diǎn)E，連接BE，
因?yàn)锳B⊥AD，AB=AD=2，所以$BD=2\sqrt{2}$
又$DE=\frac{1}{2}DC=2，AB∥CD$，所以四邊形ABDE為正方形，
即有BE=2，BE⊥CD，所以$BC=\sqrt{B{E^2}+E{C^2}}=2\sqrt{2}$…（2分）
在△BCD中，$B{D^2}+B{C^2}={（{2\sqrt{2}}）^2}+{（{2\sqrt{2}}）^2}=16=C{D^2}$，所以BD⊥BC，
翻折之后，仍有BD⊥BC…（3分）
取BD中點(diǎn)F，連接AF，CF，則有BD⊥AF，
因?yàn)槊鍭BD⊥面BCD，面ABD∩面BCD=BD，BD⊥AF，AF?面ABD，
所以AF⊥面BCD…（6分）
又CF?面BCD，AF⊥CF…（7分）
因?yàn)?CF=\sqrt{B{F^2}+B{C^2}}=\sqrt{10}$，$AF=\sqrt{A{B^2}-B{F^2}}=\sqrt{2}$，
所以$AC=\sqrt{A{F^2}+C{F^2}}=2\sqrt{3}$．…（8分）
證明：（Ⅱ）在△ACD中，$AC=2\sqrt{3}$，CD=4，AD=2，
AD²+AC²=CD²，
所以AD⊥AC…（10分）
又AB⊥AD，AB∩AC=A，
所以AD⊥平面ABC．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線段長(zhǎng)的求法，考查線面垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．