Question

5．函數(shù)y=1g（3+2x-x²）的定義域為集合M．求：當x∈M時，函數(shù)f（x）=2^x+3-3•4^x的最值，并指出f（x）取得最值時的x值．

Answer 1

分析 由對數(shù)函數(shù)的定義域，可得M，可設t=2^x（$\frac{1}{2}$＜t＜8），可得y=8t-3t²，再由二次函數(shù)的值域求法，可得最值．

解答 解：由y=1g（3+2x-x²），
可得3+2x-x²＞0，解得-1＜x＜3，
即M=（-1，3），
函數(shù)f（x）=2^x+3-3•4^x的，
可設t=2^x（$\frac{1}{2}$＜t＜8），
可得y=8t-3t²=-3（t-$\frac{4}{3}$）²+$\frac{16}{3}$，
當t=$\frac{4}{3}$，即x=log₂$\frac{4}{3}$時，函數(shù)取得最大值$\frac{16}{3}$，
無最小值．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用換元法和對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調性，考查運算能力，屬于中檔題．