Question

15．已知函數(shù)f（x）=|x-2|．
（Ⅰ）解不等式f（x）+f（x+5）≥9；
（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，求證：f（ab+3）＞f（a+b+2）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的復(fù)合函數(shù)形式，通過討論x的范圍，求出各個(gè)階段上的x的范圍，從而求出不等式的解集；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為：|ab+1|＞|a+b|，通過作差法證明即可．

解答 （Ⅰ）解：f（x）+f（x+5）=|x-2|+|x+3|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x-1，x＜-3}\\{5，-3≤x≤2}\\{2x+1，x＞2}\end{array}\right.$，
當(dāng)x＜-3時(shí)，由-2x-1≥9，解得：x＜-5，
當(dāng)-3≤x≤2時(shí)，f（x）≥9不成立，
當(dāng)x＞2時(shí)，由2x+1≥9，解得：x≥4，
∴不等式的解集是{x|x≤-5或x≥4}；
（Ⅱ）證明：f（ab+3）＞f（a+b+2）即|ab+1|＞|a+b|，
∵|a|＜1，|b|＜1，
∴（ab+1）²-（a+b）²=（a²-1）（b²-1）＞0，
∴|ab+1|＞|a+b|，
故所證不等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．