Question

15．在正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}中，${a_2}=8，\;\;16{a_4}^2={a_1}•{a_5}$，則等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)積T_n中最大的值是（　�。�

• A． T₃
• B． T₄
• C． T₅
• D． T₆

Answer 1

分析 由題意可得數(shù)列的首項(xiàng)和公比，由等差數(shù)列的求和公式可得T_n，由二次函數(shù)的最值可得．

解答 解：∵在正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}中${a_2}=8，\;\;16{a_4}^2={a_1}•{a_5}$，
∴16a₄²=a₁a₅=a₃²，∴16a₃²q²=a₃²，解得q=$\frac{1}{4}$，
∴a₁=$\frac{{a}_{2}}{q}$=$\frac{8}{\frac{1}{4}}$=32，
∴等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)積T_n=a₁ⁿq^1+2+…+n-1
=32ⁿ•$（\frac{1}{4}）^{\frac{（n-1）（1+n-1）}{2}}$=2⁵ⁿ•${2}^{n-{n}^{2}}$=${2}^{6n-{n}^{2}}$，
由二次函數(shù)可知當(dāng)n=-$\frac{6}{2×（-1）}$=3時(shí)，T_n取最大的值．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的求和公式，涉及二次函數(shù)的最值，屬基礎(chǔ)題．