Question

20．如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（　�。�
①當(dāng)點P在BC₁（不含端點）上運動時，平面AD₁C∥平面A₁BP；
②當(dāng)點P在BC₁（不含端點）上運動時，A₁D⊥AP；
③B₁D⊥平面ACD₁；
④若M是平面A₁B₁C₁D₁上點D到C₁距離相等的點，則點M的軌跡是直線A₁D．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由D₁C∥A₁B，AD₁∥BC₁，得①正確；由A₁D⊥平面ABC₁，得②正確；由B₁D⊥AD₁，B₁D⊥AC，得③正確；由M點的軌跡是一條與直線D C₁平行的直線，得④錯誤．

解答 解：在①中：∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁C∥A₁B，AD₁∥BC₁，
AD₁∩D₁C=D₁，BC₁∩A₁B=B，
∴當(dāng)點P在BC₁（不含端點）上運動時，平面AD₁C∥平面A₁BP，故①正確；
在②中：∵ADD₁A₁是正方形，∴A₁D⊥AD₁，
∵AB⊥平面ADD₁A₁，∴A₁D⊥AB，
∵AB∩AD₁=A，∴A₁D⊥平面ABC₁，
∴當(dāng)點P在BC₁（不含端點）上運動時，A₁D⊥AP，故②正確；
在③中：∵ADD₁A₁是正方形，∴A₁D⊥AD₁，
∵A₁B₁⊥平面ADD₁A₁，∴A₁D⊥A₁B₁，
∵A₁D∩A₁B₁=A₁，∴AD₁⊥平面A₁B₁D，∴B₁D⊥AD₁，
同理，B₁D⊥AC，又AC∩AD₁=A，∴B₁D⊥平面ACD₁，故③正確；
在④中：M是平面A₁B₁C₁D₁上到點D和C₁距離相等的點，
∴M點的軌跡是一條與直線D C₁平行的直線，而A₁D∩D C₁=D，故④錯誤．
故選：C．

點評 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運用．