Question

6．已知函數(shù)f（x）定義在（-1，1）上，對于任意的x，y∈（-1，1），有f（x）+f（y）=f（$\frac{x+y}{1+xy}$），且當(dāng)x＜0時f（x）＞0．
（1）判斷這樣的函數(shù)是否具有奇偶性和單調(diào)性，并加以證明；
（2）若f（-$\frac{1}{2}$）=1，試解不等式2f（x）＜-1．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，可求f（0）的值，令y=-x，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義可判斷函數(shù)的奇偶性，進而根據(jù)f（x）-f（y）=f（x）-f（y）及當(dāng)x＜0時，f（x）＞0，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義得到其單調(diào)性．
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式進行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)
∵f（x）+f（y）=f（$\frac{x+y}{1+xy}$），
∴令x=y=0，
∴f（0）+f（0）=f（0），
∴f（0）=0
令y=-x，
∴f（-x）+f（x）=f（0）=0
∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）在（-1，1）上是奇函數(shù)．
函數(shù)f（x）是減函數(shù)．
∵f（x）-f（y）=f（x）-f（y）=f（$\frac{x-y}{1-xy}$）
當(dāng)-1＜x＜y＜1時，$\frac{x-y}{1-xy}$＜0，
由條件知f（$\frac{x-y}{1-xy}$）＞0，即f（x）-f（y）＞0
∴f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)．
（2）∵f（-$\frac{1}{2}$）=1
∴f（$\frac{1}{2}$）=-1，
則2f（x）＜-1．等價為2f（x）＜f（-$\frac{1}{2}$）．
即f（x）+f（x）=f（$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$）＜f（$\frac{1}{2}$），
∴f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)
∴$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$＞$\frac{1}{2}$，
∴x²-4x+1＜0
解得2-$\sqrt{3}$＜x＜2+$\sqrt{3}$，
又∵x∈（-1，1）
∴2-$\sqrt{3}$＜x＜1，
即不等式的解集為（2-$\sqrt{3}$，1）．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的單調(diào)性，及對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中熟練掌握抽象函數(shù)的處理方式，將抽象問題具體化是解答的關(guān)鍵．