Question

16．在四梭推 P-ABCD中，CD⊥平面PAD，AB∥CD，CD=4AB，AC⊥PA，M為線段CP上一點．
（1）求證：平面ACD⊥平面PAM；
（2）若PM=$\frac{1}{4}$PC，求證：MB∥平面PAD．

Answer 1

分析 （1）由CD⊥平面PAD得PA⊥CD，結合PA⊥AC，得PA⊥平面ACD，故平面ACD⊥平面PAM；
（2）在PD上取點E，使得PE=$\frac{1}{4}$PD，連結ME，AE，可得ME∥CD，ME=$\frac{1}{4}$CD，因為AB∥CD，AB=$\frac{1}{4}$CD，所以AB與ME平行且相等，推出四邊形ABME是平行四邊形，故MB∥AE，所以MB∥平面PAD．

解答 證明：（1）∵CD⊥平面PAD，PA?平面PAD，
∴CD⊥PA，又∵AC⊥PA，CD∩AC=C，
∴PA⊥平面ACD，∵PA?平面PAM，
∴平面ACD⊥平面PAM．
（2）在PD上取點E，使得PE=$\frac{1}{4}$PD，連結ME，AE．
∵PM=$\frac{1}{4}$PC，
∴ME∥CD，ME=$\frac{1}{4}$CD，
又∵AB∥CD，AB=$\frac{1}{4}$CD，
∴ME∥AB，ME=AB，
∴四邊形ABME是平行四邊形，
∴MB∥AE，又∵AE?平面PAD，MB?平面PAD，
∴MB∥平面PAD．

點評 本題考查了線面垂直，線面平行的判定，屬于基礎題．