Question

11．如圖所示，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分別為棱C₁D₁，C₁C的中點，以下四個結(jié)論中正確的是（　　）

• A． 直線MN與DC₁互相垂直
• B． 直線AM與BN互相平行
• C． 直線MN與BC₁所成角為90°
• D． 直線MN垂直于平面A₁BCD₁

Answer 1

分析 在A中，由MN∥D₁C，D₁C⊥DC₁，得直線MN與DC₁互相垂直，故A正確；在B中，直線AM與BN相交；在C中：直線MN與BC₁所成角為60°；在D中，MN∥平面A₁BCD₁．

解答 解：在A中：∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分別為棱C₁D₁，C₁C的中點，
∴MN∥D₁C，
在B中：∵D₁C⊥DC₁，∴直線MN與DC₁互相垂直，故A正確；
取DD₁中點E，連結(jié)AE，則BN∥AE，由AE∩AM=A，得直線AM與BN相交，故B錯誤；
在C中：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為2，
則M（0，1，2），N（0，2，1），B（2，2，0），C₁（0，2，2），
$\overrightarrow{MN}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-2，0，2），
cos＜$\overrightarrow{MN}，\overrightarrow{B{C}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{B{C}_{1}}}{|\overrightarrow{MN}|•|\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$=$\frac{-2}{\sqrt{2}×\sqrt{8}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴直線MN與BC₁所成角為60°，故C錯誤；
在D中：∵$\overrightarrow{MN}$=（0，1，-1），A₁（2，0，2），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，2，-2），
∴$\overrightarrow{MN}$∥$\overrightarrow{{A}_{1}B}$，∵MN?平面A₁BCD₁，A₁B?平面A₁BCD₁，
∴MN∥平面A₁BCD₁，故D錯誤．
故選：A．

點評 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．