Question

5．已知函數f（x）=log_a（x²-2x+5）（a＞0），若f（2）=$\frac{1}{lo{g}_{5}2}$，g（x）=2^x-k．
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）當x∈[1，3]時，記f（x），g（x）的值域分別為集合A，B，若A∩B=A，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得log_a5=$\frac{1}{lo{g}_{5}2}$，利用換底公式即可得解．
（Ⅱ）根據二次函數的圖象和性質以及指數函數的單調性，分別求出其值域，再根據A∪B=A，得到關于k的不等式組，解得即可．

解答 （本題滿分為10分）
解：（Ⅰ）∵函數f（x）=log_a（x²-2x+5），滿足f（2）=$\frac{1}{lo{g}_{5}2}$，
∴l(xiāng)og_a5=$\frac{1}{lo{g}_{5}2}$=$\frac{{log}_{5}^{5}}{{log}_{5}^{2}}$=${log}_{2}^{5}$，
∵a＞0，a≠1，可得：a=2．…（5分）
（Ⅱ）∵x∈[1，3]，則x²-2x+5=（x-1）²+4∈[4，8]，
∴由（Ⅰ）可得：f（x）=log₂（x²-2x+5）∈[2，3]，
∴A=[2，3]，
∵當x∈[1，3]時，g（x）單調遞增，g（x）=2^x-k∈[2-k，8-k]，
∴B=[2-k，8-k]，
∵f（x），g（x）的值域分別為集合A，B，A∩B=A，
∴A⊆B，
∴2-k≤2，8-k≥3，
∴解得：k∈[0，5]．…（10分）

點評 本題考查了冪函數和指數函數的定義和性質，以及有關函數的值域的問題，屬于中檔題．