Question

2．如圖所示，已知$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞＞0）點A（1，$\sqrt{2}$）是離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$的橢圓C：上的一點，斜率為$\sqrt{2}$的直線BD交橢圓C于B、D兩點，且A、B、D三點不重合．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求△ABD面積的最大值；
（Ⅲ）設(shè)直線AB、AD的斜率分別為k₁，k₂，試問：是否存在實數(shù)λ，使得k₁+λk₂=0成立？若存在，求出λ的值；否則說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用橢圓的離心率，化簡橢圓方程，代入A，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線BD方程為y=$\sqrt{2}$x+b，與橢圓方程聯(lián)立，表示出面積，利用基本不等式求△ABD面積的最大值；
（Ⅲ）k₁+k₂=0，猜想λ=1時成立，再進行證明即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a=$\sqrt{2}$c，
∴b²=c²
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{2{c}^{2}}$=1
又點A（1，$\sqrt{2}$）在橢圓上，
∴$\frac{1}{{c}^{2}}+\frac{2}{2{c}^{2}}$=1，
∴c²=2
∴a=2，b=$\sqrt{2}$，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1     …（3分）
（Ⅱ）設(shè)直線BD方程為y=$\sqrt{2}$x+b，D（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
與橢圓方程聯(lián)立，可得4x²+2$\sqrt{2}$bx+b²-4=0
△=-8b²+64＞0，∴-2$\sqrt{2}$＜b＜2$\sqrt{2}$       
x₁+x₂=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，x₁x₂=$\frac{^{2}-4}{4}$                   
∴|BD|=$\sqrt{1+2}$•$\sqrt{\frac{^{2}}{2}-4•\frac{^{2}-4}{4}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$•$\sqrt{8-^{2}}$，
設(shè)d為點A到直線y=$\sqrt{2}$x+b的距離，∴d=$\frac{|b|}{\sqrt{3}}$
∴△ABD面積S=$\frac{\sqrt{2}}{4}•\sqrt{（8-^{2}）^{2}}$≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$•$\frac{8-^{2}+^{2}}{2}$=$\sqrt{2}$
當(dāng)且僅當(dāng)b=±2時，△ABD的面積最大，最大值為$\sqrt{2}$  …（8分）
（Ⅲ）當(dāng)直線BD過橢圓左頂點（-$\sqrt{2}$，0）時，k₁=$\frac{\sqrt{2}-0}{1+\sqrt{2}}$=2-$\sqrt{2}$，k₂=$\frac{\sqrt{2}-2}{1-0}$=$\sqrt{2}$-2
此時k₁+k₂=0，猜想λ=1時成立．
證明如下：k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-\sqrt{2}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}-\sqrt{2}}{{x}_{2}-1}$=2$\sqrt{2}$+m•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-2}{{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$=2$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2}$=0
當(dāng)λ=1，k₁+k₂=0，故當(dāng)且僅當(dāng)λ=1時滿足條件…（12分）

點評 本題考查直線與橢圓方程的綜合應(yīng)用，考查存在性問題的處理方法，橢圓方程的求法，韋達定理的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．