Question

9．已知函數(shù)f（x）=x³-3ax²+4，若f（x）存在唯一的零點(diǎn)x₀，且x₀＜0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A． （-∞，3）
• B． （-∞，1）
• C． （-1，+∞）
• D． （-3，+∞）

Answer 1

分析 求導(dǎo)f′（x）=3x²-6ax=3x（x-2a），從而分類(lèi)討論以確定函數(shù)的單調(diào)性及極值，再結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的判定定理求解即可．

解答 解：∵f（x）=x³-3ax²+4，
∴f′（x）=3x²-6ax=3x（x-2a），
①當(dāng)a＞0時(shí)，
f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，在（0，2a）上是減函數(shù)，在（2a，+∞）上是增函數(shù)；
又f（0）=4＞0，故只需要f（2a）=8a³-12a³+4＞0，
解得0＜a＜1；
②當(dāng)a=0時(shí)，
f（x）=x³+4在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，且f（0）=4＞0；
故f（x）存在唯一的零點(diǎn)x₀，且x₀＜0；
③當(dāng)a＜0時(shí)，
f（x）在（-∞，2a）上是增函數(shù)，在（2a，0）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)，且f（0）=4＞0，
故f（x）滿足存在唯一的零點(diǎn)x₀，且x₀＜0；
綜上所述，
實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，1），
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類(lèi)討論的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定定理的應(yīng)用．