Question

3．已知數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，前n項和為S_n，且滿足2S_n=${a}_{n}^{2}$+n-4
（1）求證{a_n}為等差數(shù)列；
（2）求{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）當n=1時，求出a₁=3，當n≥2時，有2S_n-1=a²_n-1+n-5，2S_n=a²_n+n-4，兩式相減得（a_n-1）²=a²_n-1，由此利用數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)得到a_n-a_n-1=1，從而能證明{a_n}為等差數(shù)列．
（2）由{a_n}為等差數(shù)列，且a₁=3，d=1，能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答 （1）證明：當n=1時，有2a₁=a+1-4，即a²₁-2a₁-3=0，
解得a₁=3（a₁=-1舍去）
當n≥2時，有2S_n-1=a²_n-1+n-5，
又2S_n=a²_n+n-4，
兩式相減得2a_n=a²_n-a²_n-1+1，
即a²_n-2a_n+1=a²_n-1，
也即（a_n-1）²=a²_n-1，
因此a_n-1=a_n-1或a_n-1=-a_n-1
若a_n-1=-a_n-1，則a_n+a_n-1=1，而a₁=3，
所以a₂=-2，這與數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)相矛盾，
所以a_n-1=a_n-1，即a_n-a_n-1=1，
因此{a_n}為等差數(shù)列．
（2）解：由（1）知{a_n}為等差數(shù)列，且a₁=3，d=1，
所以數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=3+（n-1）=n+2，
即a_n=n+2．

點評 本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意迭代法、分類討論思想和等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．