Question

18．設(shè)函數(shù)y=f（x）定于在實(shí)數(shù)集R上，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1，且對(duì)任意示數(shù)m，n都有f（m+n）=f（m）•f（n）．
（1）證明f（x）在R上，恒有f（x）＞0；
（2）證明f（x）在R上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法即可證明f（x）＞0，
（2）然后利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)．
證明：令m=0，n=2，則f（n）＞1，
∴f（0+2）=f（0）f（2）=f（2），
則f（0）=1
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1
∴當(dāng)x＜0，則-x＞0，
得f（x-x）=f（x）f（-x）=f（0）=1，
得$f（x）=\frac{1}{f（-x）}＞0$，
故對(duì)于任意x∈R，都有f（x）＞0，
（2）設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＞x₂，
則x₁-x₂＞0，∴f（x₁-x₂）＞1，
∴f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）f（x₂）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，考查賦值法的運(yùn)用，考查學(xué)生的推理能力．