Question

1．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為A₁B₁，A₁D₁的中點，求證：DF∥平面ACE．

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明DF∥平面ACE．

解答 證明：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，設(shè)AB=a，AD=b，AA₁=c，
∵E，F(xiàn)分別為AB₁，A₁D₁的中點，
∴D（0，0，0），F(xiàn)（$\frac{a}{2}$，0，c），A（a，0，0），C（0，b，0），E（a，$\frac{2}$，c），
$\overrightarrow{DF}$=（$\frac{a}{2}$，0，c），$\overrightarrow{AC}$=（-a，b，0），$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{2}$，c），
設(shè)平面ACE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-ax+by=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=\frac{2}y+cz=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{a}$，-$\frac{a}{2c}$），
$\overrightarrow{DF}•\overrightarrow{n}$=$\frac{a}{2}-\frac{a}{2}$=0，
∵DF?平面ACE，∴DF∥平面ACE．

點評 本題考查線面平行的證明，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．