Question

2．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)$f（x）=\frac{{a-{2^x}}}{{b+{2^x}}}$是奇函數(shù)
（1）求a，b的值．
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并用定義證明
（3）若存在t∈R，使f（k+t²）+f（4t-2t²）＜0成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)建立方程關(guān)系進(jìn)行求解．
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可．
（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）是R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0
即$\frac{a-1}{b+1}=0∴a=1$
f（-1）=-f（1）∴$\frac{{a-\frac{1}{2}}}{{b+\frac{1}{2}}}=-\frac{a-2}{b+2}$
即　$\frac{{\frac{1}{2}}}{{b+\frac{1}{2}}}=\frac{1}{b+2}∴2b+1=b+2∴b=1$
經(jīng)驗(yàn)證符合題意．∴a=1，b=1
（2）$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{1+{2^x}}}=\frac{{-（{2^x}+1）+2}}{{1+{2^x}}}=-1+\frac{2}{{1+{2^x}}}$
f（x）在R上是減函數(shù)，證明如下：
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1-{2}^{{x}_{1}}}{1+{2}^{{x}_{1}}}$-$\frac{1-{2}^{{x}_{2}}}{1+{2}^{{x}_{2}}}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（1+{2}^{{x}_{1}}）（1+{2}^{{x}_{2}}）}$，
∵x₁＜x₂∴${2^{x_1}}$＜${2^{x_2}}$
∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在R上是減函數(shù)．
（3）∵f（k+t²）+f（4t-2t²）＜0，f（x）是奇函數(shù)．
∴f（k+t²）＜f（2t²-4t）
又∵f（x）是減函數(shù)，∴k+t²＞2t²-4t∴k＞t²-4t
設(shè)g （t）=t²-4t，
∴問題轉(zhuǎn)化為k＞g（t）_min
g（t）_min=g（2）=-4，
∴k＞-4

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，利用定義法，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．