Question

10．設(shè)a為實數(shù)，且1＜x＜3，試討論關(guān)于x的方程x²+3+a=5x的實數(shù)解的個數(shù)．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為a=-x²+5x-3，設(shè)f（x）=-x²+5x-3，結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．

解答 解：由x²+3+a=5x得a=-x²+5x-3，
設(shè)f（x）=-x²+5x-3，
則f（x）=-（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{13}{4}$，
∵1＜x＜3，
∴當(dāng)x=1時，f（1）=-1+5-3=1，
當(dāng)x=3時，f（3）=-9+15-3=3，
當(dāng)x=-$\frac{5}{2}$時，f（x）=$\frac{13}{4}$，
故當(dāng)a＞$\frac{13}{4}$或a≤1時，方程a=-x²+5x-3沒有交點，
當(dāng)a=$\frac{13}{4}$或1≤a≤3時，方程a=-x²+5x-3有1個根，
當(dāng)3＜a＜$\frac{13}{4}$時，方程a=-x²+5x-3有2個根．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用轉(zhuǎn)化法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．