Question

20．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)M（0，2）關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C上，且△MF₁F₂為正三角形，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析 由題意畫(huà)出圖形，求出M點(diǎn)關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱點(diǎn)，則a可求，再由△MF₁F₂為正三角形列式求得c，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求．

解答 解：如圖，
點(diǎn)M（0，2）關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱點(diǎn)為（-2，0），
∵（-2，0）在橢圓上，∴a=2，
又△MF₁F₂為正三角形，
∴tan30°=$\frac{c}{2}$，得c=2tan30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
則b²=a²-c²=4-$\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{8}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了橢圓方程的求法，是中檔題．