Question

9．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-3{x^2}+4x，0≤x＜1\\ f（x-1）+1，x≥1.\end{array}\right.$，則f（3）=3；若關(guān)于x的方程f（x）=ax+1恰有三個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，$\frac{1}{2}$）∪（4-2$\sqrt{3}$，$\frac{2}{3}$）．

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）和y=ax+1的圖象，將方程問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：由f（x）的表達(dá)式得f（3）=f（2）+1=f（1）+1+1=f（1）+2=f（0）+1+2=f（0）+3=0+3=3，
當(dāng)1≤x＜2時(shí)，0≤x-1＜1，
此時(shí)f（x）=f（x-1）+1=-3（x-1）²+4（x-1）+1=-3x²+10x-6，
當(dāng)2≤x＜3時(shí)，1≤x-1＜2，則f（x）=f（x-1）+1=-3（x-1）²+10（x-1）-6+1=-3x²+16x-18，
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
若于x的方程f（x）=ax+1恰有三個(gè)不同的解，
則等價(jià)為函數(shù)f（x）與y=ax+1恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
直線y=ax+1過定點(diǎn)D（0，1），
當(dāng)直線過點(diǎn)C（1，1）時(shí)，此時(shí)a=0，直線和f（x）有2個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)直線過點(diǎn)A（2，2）時(shí)，此時(shí)2=2a+1，解得a=$\frac{1}{2}$，此時(shí)直線和f（x）有4個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B（3，3）時(shí)，即3=3a+1，解得a=$\frac{2}{3}$，
當(dāng)直線y=ax+1與f（x）=-3x²+4x相切時(shí)，
即-3x²+4x=ax+1，
即3x²+（a-4）x+1=0，
由判別式△=（a-4）²-12=0，
解得a=4+2$\sqrt{3}$（此時(shí)直線的斜率a＜$\frac{2}{3}$，不成立舍去）或a=4-2$\sqrt{3}$，
此時(shí)直線和f（x）有4個(gè)交點(diǎn)，
綜上要使兩個(gè)函數(shù)的圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
則直線滿足在DC和DA之間，或在切線和DB之間，
即0＜a＜$\frac{1}{2}$，或4-2$\sqrt{3}$＜a＜$\frac{2}{3}$．
即（0，$\frac{1}{2}$）∪（4-2$\sqrt{3}$，$\frac{2}{3}$）．
故答案為：3，（0，$\frac{1}{2}$）∪（4-2$\sqrt{3}$，$\frac{2}{3}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用分段函數(shù)作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，是個(gè)難題．