Question

20．已知函數(shù)f（x）=2^-x（4^x-m）是奇函數(shù)，g（x）=lg（10^x+1）+nx是偶函數(shù)．
（I）求m+n的值；
（Ⅱ）設h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）+1，x≤0}\\{g（x）+\frac{1}{2}x，x＞0}\end{array}\right.$，試求h（x）在x∈[-2，1]時的最大值．

Answer 1

分析 （I）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且在x=0處有意義，得f（0）=0，解得m，g（x）是偶函數(shù)利用g（-x）=g（x）解得n，從而得m+n的值．
（Ⅱ）分段求出最大值，即可得出結論．

解答 解：（I）∵函數(shù)f（x）=2^-x（4^x-m）是奇函數(shù)且定義域為R，
∴f（0）=1-m=0，解得m=1
∵g（x）=lg（10^x+1）+nx是偶函數(shù)．
∴g（-x）=lg（10^-x+1）-nx=lg$\frac{1{0}^{x}+1}{1{0}^{x}}$-nx=lg（10^x+1）-x-nx=lg（10^x+1）-（n+1）x
=g（x）=lg（10^x+1）+nx，
∴n=-（n+1），∴n=-$\frac{1}{2}$，
∴m+n=$\frac{1}{2}$
（Ⅱ）-2≤x≤0，h（x）=f（x）+1=2^-x（4^x-1）+1=2^x-2^-x+1，單調遞增，最大值為1；
0＜x≤1，h（x）=g（x）+$\frac{1}{2}$x=lg（10^x+1），單調遞增，最大值為lg11，
∴h（x）在x∈[-2，1]時的最大值為lg11．

點評 本題考查了函數(shù)奇偶性的性質，單調性的判斷和運用，考查學生分析解決問題的能力．是中檔題．