Question

7．函數(shù)y=cos²x+2sinx在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，θ]上的最小值為-$\frac{1}{4}$，則θ的取值范圍是[$-\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}$]．

Answer 1

分析 利用平方關(guān)系化為關(guān)于sinx的一元二次方程，配方后由最小值為-$\frac{1}{4}$，可得sinx=-$\frac{1}{2}$，再結(jié)合x∈[-$\frac{π}{6}$，θ]求得θ的范圍．

解答 解：y=cos²x+2sinx=-sin²x+2sinx+1=-（sinx-1）²+2．
∵函數(shù)y=cos²x+2sinx在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，θ]上的最小值為-$\frac{1}{4}$，
∴-（sinx-1）²的最小值為$-\frac{9}{4}$，
∴（sinx-1）²的最大值為$\frac{9}{4}$，則sinx=-$\frac{1}{2}$，
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，θ]，
∴θ∈[$-\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}$]．
故答案為：[$-\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}$]．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，訓(xùn)練了利用配方法求函數(shù)的最值，是中檔題．