Question

14．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0＞的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，圓O以原點為圓心，b為半徑，過F₂的直線l與橢圓C交于M，N兩點，并與圓O相切于A，若$\overrightarrow{AN}$=2$\overrightarrow{MA}$，求橢圓的離心率．

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)直線l的方程為：y=k（x-c）．利用直線與圓相切性質(zhì)可得：k²=$\frac{^{2}}{{c}^{2}-^{2}}$．把直線l的方程代入橢圓方程可得：（b²+a²k²）x²-2ca²k²x+a²c²k²-a²b²=0，整理可得：2c²x²-2ca²x+a²b²=0，設(shè)A（x_A，y_A），M（x_M，y_M），N（x_N，y_N）．OA所在直線方程為：y=-$\frac{1}{k}$x，與直線l聯(lián)立可得：x_A=$\frac{c{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{^{2}}{c}$．由于$\overrightarrow{AN}$=2$\overrightarrow{MA}$，可得3x_A=x_N+2x_M=$\frac{3}{2}（{x}_{N}+{x}_{M}）$-$\frac{1}{2}（{x}_{N}-{x}_{M}）$，化簡整理即可得出．

解答 解：如圖所示，
設(shè)直線l的方程為：y=k（x-c）．
∵直線l與圓相切可得：$\frac{|kc|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=b，化為k²=$\frac{^{2}}{{c}^{2}-^{2}}$ ①．
把直線l的方程代入橢圓方程可得：（b²+a²k²）x²-2ca²k²x+a²c²k²-a²b²=0，
把①代入上式整理可得：2c²x²-2ca²x+a²b²=0，
設(shè)A（x_A，y_A），M（x_M，y_M），N（x_N，y_N）．
OA所在直線方程為：y=-$\frac{1}{k}$x，與直線l聯(lián)立可得：x_A=$\frac{c{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{^{2}}{c}$．
∵$\overrightarrow{AN}$=2$\overrightarrow{MA}$，∴3x_A=x_N+2x_M=$\frac{3}{2}（{x}_{N}+{x}_{M}）$-$\frac{1}{2}（{x}_{N}-{x}_{M}）$，由圖可知：x_N＞x_M．

∴$\frac{3^{2}}{c}$=$\frac{3}{2}$$•\frac{{a}^{2}}{c}$-$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{{a}^{4}}{{c}^{2}}-\frac{2{a}^{2}^{2}}{{c}^{2}}}$，整理可得：6c²-3a²=$\sqrt{2{a}^{2}{c}^{2}-{a}^{4}}$，化為$6{e}^{2}-3=\sqrt{2{e}^{2}-1}$，解得$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$，或$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交題、點到直線的距離公式、直線與圓相切的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．