Question

3．已知與定點(diǎn)O（0，0），A（0，3）的距離比為$\frac{1}{2}$的點(diǎn)P的軌跡為曲線(xiàn)C，過(guò)點(diǎn)B（0，2）的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于M，N兩點(diǎn)．
（1）求曲線(xiàn)C的軌跡方程；
（2）判斷$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$是否為定值？若是求出這個(gè)定值，若不是請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=1，求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)曲線(xiàn)C上的任意一點(diǎn)P（x，y），由題意可得：$\frac{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，化簡(jiǎn)即可得出．
（2）直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相交于點(diǎn)（0，1），（0，-3）．則$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$=5．直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為：y=kx+2，直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相交于點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），與圓的方程聯(lián)立可得：（1+k²）x²+6kx+5=0，△＞0，解得k的范圍．把根與系數(shù)的關(guān)系代入可得$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$=5．
（3）$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=1，由（2）可得：根與系數(shù)的關(guān)系，代入解出即可得出．

解答 解：（1）設(shè)曲線(xiàn)C上的任意一點(diǎn)P（x，y），
由題意可得：$\frac{|OP|}{|PA|}$=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，化為：x²+（y+1）²=4．
（2）直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相交于點(diǎn)（0，1），（0，-3）．
則$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$=（0，-1）•（0，-5）=0+5=5．
直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為：y=kx+2，
直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相交于點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{x}^{2}+（y+1）^{2}=4}\end{array}\right.$，化為（1+k²）x²+6kx+5=0，
△=36k²-20（1+k²）=16k²-20＞0，解得k²$＞\frac{5}{4}$．
∴x₁x₂=$\frac{5}{1+{k}^{2}}$，∴$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$=x₁x₂+（y₁-2）（y₂-2）=（1+k²）x₁x₂=5．
綜上可得：$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$為定值5．
（3）$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=1，
由（2）可得：根與系數(shù)的關(guān)系：x₁+x₂=-$\frac{6k}{1+{k}^{2}}$，（1+k²）x₁x₂=5．
∴5+2k×$\frac{-6k}{1+{k}^{2}}$+4=1，化為：k²=2，解得k=$±\sqrt{2}$．滿(mǎn)足△＞0．
∴直線(xiàn)l的方程為：y=$±\sqrt{2}$x+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了曲線(xiàn)的方程、兩點(diǎn)之間的距離公式、直線(xiàn)與圓相交轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．