Question

5．函數(shù)$f（x）=（{{m^2}-m-1}）{x^{{m^2}+m-3}}$是定義域?yàn)镽的冪函數(shù)，且當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）是增函數(shù)，
（1）求m的值，并寫出f（x）得解析式．
（2）若f（a）≤8，則a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)冪函數(shù)的定義，令m²-m-1=1，求出m的值，再判斷m是否滿足冪函數(shù)在x∈（0，+∞）上為增函數(shù)即可．
（2）利用函數(shù)的解析式，寫出不等式求解即可．

解答 解：∵冪函數(shù)y=（m²-m-1）x^m2+m-3，
∴m²-m-1=1，
解得m=2，或m=-1；
又x∈（0，+∞）時(shí)y為增函數(shù)，
∴當(dāng)m=2時(shí)，m²+m-3=3，冪函數(shù)為y=x³，滿足題意；
當(dāng)m=-1時(shí)，m²+m-3=-3，冪函數(shù)為y=x^-3，不滿足題意；
綜上，m=2，冪函數(shù)y=x³．
（2）f（a）≤8，
可得a³≤8
解得：a≤2．

點(diǎn)評 本題考查了冪函數(shù)的定義與性質(zhì)的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是求出符合題意的m值．