Question

1．已知5cos²α+4cos²β=4cosα，則2cos²α+cos2β+1的取值范圍是（　�。�

• A． [0，$\frac{16}{25}$]
• B． [-$\frac{5}{2}$，2]
• C． [-$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$]
• D． [0，$\frac{32}{25}$]

Answer 1

分析 記x=cosα，則 cos²β=-$\frac{5}{4}$x2+x≥0，解得0≤x≤$\frac{4}{5}$，把cos²α+cos²β=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+1，故x=$\frac{4}{5}$時，cos²α+cos²β取最大值；x=0時，cos²α+cos²β取最小值，從而得到
cos²α+cos²β 的取值范圍，由2cos²α+cos2β+1=2（cos²α+cos²β）即可得解．

解答 解：記x=cosα，則 cos²β=-$\frac{5}{4}$x²+x≥0，解得0≤x≤$\frac{4}{5}$ （而不是0≤x≤1，此步非常關(guān)鍵，大部分同學(xué)都會在此處疏漏，導(dǎo)致答案錯誤）．
∴cos²α+cos²β=x²-$\frac{5}{4}$x²+x=-$\frac{{x}^{2}}{4}$+x=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+1，由單調(diào)性可知，
x=$\frac{4}{5}$時，cos²α+cos²β取得最大值為$\frac{16}{25}$；x=0時，cos²α+cos²β取得最小值為0，即cos²α+cos²β 的取值范圍是[0，$\frac{16}{25}$]．
∵2cos²α+cos2β+1=2（cos²α+cos²β），
∴2cos²α+cos2β+1的取值范圍是：[0，$\frac{32}{25}$]
故選：D．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的最值的求法，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，屬于中檔題．