Question

12．已知$\overrightarrow{a}$=（-1，1），$\overrightarrow$=（sinωx，sin（ωx+$\frac{2}{3}$π）），ω＞0，f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（1）當(dāng)ω=2時，求f（x）的周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（x）在區(qū)域[0，2π]上恰有一個最大值和一個最小值，求ω的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)ω=2時，化簡解析式可得f（x）=-$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$），由周期公式可求周期，由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由f（x）=-$\sqrt{3}$sin（ωx-$\frac{π}{6}$），根據(jù)題意可得：$\frac{5}{4}×\frac{2π}{ω}$＞2π，$\frac{3}{4}×\frac{2π}{ω}＜2π$，ω＞0，從而解得ω的取值范圍．

解答 解：（1）∵當(dāng)ω=2時，f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=sin（2x+$\frac{2}{3}$π）-sin2x=-$\frac{3}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x=-$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴f（x）的周期T=$\frac{2π}{2}$=π．由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，（k∈Z）．
（2）由于f（x）=-$\sqrt{3}$sin（ωx-$\frac{π}{6}$），在區(qū)域[0，2π]上恰有一個最大值和一個最小值，
 也就是$\frac{5}{4}×\frac{2π}{ω}$＞2π，$\frac{3}{4}×\frac{2π}{ω}＜2π$，ω＞0，
從而解得：$\frac{3}{4}＜ω＜\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的周期性及其求法，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，平面向量及應(yīng)用，屬于基本知識的考查．