Question

18．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=4，滿足a_n+2=$\frac{5}{3}$a_n+1-$\frac{2}{3}$a_n
（I）設(shè)b_n=a_n+1-a_n，求證數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a_n+2=$\frac{5}{3}$a_n+1-$\frac{2}{3}$a_n，變形為：a_n+2-a_n+1=$\frac{2}{3}（{a}_{n+1}-{a}_{n}）$，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，b_n}=3（$\frac{2}{3}$）^n-1，可得a_n+1-a_n=3×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，利用a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 （Ⅰ）證明：∵a_n+2=$\frac{5}{3}$a_n+1-$\frac{2}{3}$a_n，
變形為：a_n+2-a_n+1=$\frac{2}{3}（{a}_{n+1}-{a}_{n}）$，
即b_n+1=$\frac{2}{3}$b_n
又b₁=a₂-a₁=3
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為3，公比為$\frac{2}{3}$的等比數(shù)列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，b_n}=3（$\frac{2}{3}$）^n-1，
∴a_n+1-a_n=3×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+3+3×$（\frac{2}{3}）$+3×$（\frac{2}{3}）^{2}$+…+3×$（\frac{2}{3}）^{n-2}$
=$1+3×\frac{1-（\frac{2}{3}）^{n-1}}{1-\frac{2}{3}}$
=10-9×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$．

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．