Question

10．已知函數(shù)y=f（x）是定義域為R的偶函數(shù)．當x≥0時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{4}sin（\frac{π}{2}x）（0≤x≤1）}\\{（\frac{1}{4}）^{x}+1（x＞1）}\end{array}\right.$，則f（1）=$\frac{5}{4}$，若關于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0（a，b∈R）），有且僅有6個不同實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{4}$）∪（-$\frac{9}{4}$，-1）．

Answer 1

分析 可求得f（1）=$\frac{5}{4}$sin（$\frac{π}{2}$）=$\frac{5}{4}$，作函數(shù)的圖象，分類討論即可．

解答 解：f（1）=$\frac{5}{4}$sin（$\frac{π}{2}$）=$\frac{5}{4}$，
作函數(shù)y=f（x）的圖象如右圖，

設方程x²+ax+b=0的兩個根為x₁，x₂；
①若x₁=$\frac{5}{4}$，1＜x₂＜$\frac{5}{4}$，
故x₁+x₂=-a∈（$\frac{9}{4}$，$\frac{5}{2}$），
故a∈（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{4}$）；
②若0＜x₁≤1，1＜x₂＜$\frac{5}{4}$，
故x₁+x₂=-a∈（1，$\frac{9}{4}$），
故a∈（-$\frac{9}{4}$，-1）；
故答案為：$\frac{5}{4}$，（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{4}$）∪（-$\frac{9}{4}$，-1）．

點評 本題考查了函數(shù)的性質的判斷與應用，同時考查了數(shù)形結合的思想的應用．