6.已知圓的方程為x2+y2=4,過點(diǎn)M(2,4)作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為S,T,直線ST恰好經(jīng)過橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C與x軸交于S,Q點(diǎn),已知點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{PS}•\overrightarrow{PQ}$=0,點(diǎn)A,B在橢圓C上且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求△PAB面積的最大值.

分析 (1)根據(jù)直線與橢圓相切,求得切線方程,由此得出a,b,進(jìn)而得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)先確定P所在的軌跡,再證出原點(diǎn)O到弦AB的距離為定值,然后確定弦AB長(zhǎng)度的最大值,因此就能得到三角形PAB面積的最大值.

解答 解:(1)x=2是x2+y2=4的一條切線,切點(diǎn)S(2,0),
設(shè)另一條切線為:y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0,
∴d=$\frac{|4-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2,解得k=$\frac{3}{4}$,切線方程為:3x-4y+10=0,
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{3x-4y+10=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$,解得x=-$\frac{6}{5}$,y=$\frac{8}{5}$,即T(-$\frac{6}{5}$,$\frac{8}{5}$),
因此,kST=-$\frac{1}{2}$,∴直線ST:x+2y-2=0,
該直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為(2,0),(0,1),∴a=2,b=1,
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為:$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1.
(2)取S(2,0),Q(-2,0),∵P滿足$\overrightarrow{PS}•\overrightarrow{PQ}$=0,
∴點(diǎn)P在半徑r=2的圓上,圓的方程為:x2+y2=4,
又∵點(diǎn)A,B在橢圓C上且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),
∴原點(diǎn)O到弦AB的距離為定值d=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,證明過程:
∵OA⊥OB,故設(shè)A(mcosθ,msinθ),B(ncos(θ+$\frac{π}{2}$),nsin(θ+$\frac{π}{2}$)),其中m=|OA|,m=|OB|,
將A(mcosθ,msinθ),B(-nsinθ,ncosθ)的坐標(biāo)代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1得,
$\frac{m^2•cos^2θ}{4}$+m2sin2θ=1,------①;$\frac{n^2•sin^2θ}{4}$+n2cos2θ=1,------②
將$\frac{①}{m^2}$+$\frac{②}{n^2}$得,$\frac{1}{m^2}$+$\frac{1}{n^2}$=$\frac{5}{4}$,設(shè)OH⊥AB于H,
因此,原點(diǎn)O到AB的距離為d=|OH|=$\frac{mn}{\sqrt{m^2+n^2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$(定值),
又因?yàn)辄c(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為定值2,
所以,當(dāng)OP與OH共線反向時(shí),△PAB的高達(dá)到最大,其最大值hmax=r+d=2+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,
因此,當(dāng)?shù)走匒B的長(zhǎng)度取得最大值時(shí),△ABP的面積取得最大值,
設(shè)∠OAB=α,則|AB|=|AH|+|BH|=|OH|×(tanα+$\frac{1}{tanα}$),其中tanα∈[$\frac{1}{2}$,2],
所以,|AB|∈[2|OH|,$\frac{5}{2}$|OH|],即AB長(zhǎng)度的最大值為$\frac{5}{2}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\sqrt{5}$,
所以,(S△PABmax=$\frac{1}{2}$•|AB|max×hmax=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×(2+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$)=$\sqrt{5}+1$,
故△PAB面積的最大值為$\sqrt{5}+1$.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓相切的條件、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形面積計(jì)算公式,體現(xiàn)了參數(shù)法,轉(zhuǎn)化法和數(shù)形結(jié)合的解題思想,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

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