Question

5．已知函數(shù)定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=e^x（x+1），給出下列命題：
①當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=e^x（1-x）
②函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)
③f（x）＞0的解集為（-1，0）∪（1，+∞）        
④?x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2，
其中正確的命題是（　�。�

• A． ①③
• B． ②③
• C． ③④
• D． ②④

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，可設(shè)x＞0，從而有-x＜0，從而可求出f（x）=e^-x（x-1），從而可看出-1，1，0都是f（x）的零點(diǎn)，這便得出①②錯(cuò)誤，而由f（x）解析式便可解出f（x）＞0的解集，從而判斷出③的正誤，可分別對(duì)x＜0和x＞0時(shí)的f（x）求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)可判斷f（x）的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求出f（x）的值域，這樣便可得出?x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2．

解答 解：①f（x）為R上的奇函數(shù)，設(shè)x＞0，-x＜0，則：f（-x）=e^-x（-x+1）=-f（x）；
∴f（x）=e^-x（x-1）；
∴該命題錯(cuò)誤；
②∵f（-1）=0，f（1）=0；
又f（0）=0；
∴f（x）有3個(gè)零點(diǎn)；
∴該命題錯(cuò)誤；
③（1）x＜0時(shí)，f（x）=e^x（x+1）；
∴-1＜x＜0時(shí)，f（x）＞0；
（2）x＞0時(shí)，f（x）=e^-x（x-1）；
∴x＞1時(shí)，f（x）＞0；
∴f（x）＞0的解集為（-1，0）∪（1，+∞）；
∴該命題正確；
④（1）x＜0時(shí)，f′（x）=e^x（x+2）；
∴x＜-2時(shí)，f′（x）＜0，-2＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0；
∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（-2，0）上單調(diào)遞增；
∴x=-2時(shí)，f（x）取最小值-e^-2，且x＜-2時(shí)，f（x）＜0；
∴f（x）＜f（0）=1；
即-e^-2＜f（x）＜1；
（2）x＞0時(shí)，f′（x）=e^-x（2-x）；
∴f（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）上單調(diào)遞減；
x=2時(shí)，f（x）取最大值e^-2，且x＞2時(shí)，f（x）＞0；
∴f（x）＞f（0）=-1；
∴-1＜f（x）≤e^-2；
∴f（x）的值域?yàn)椋?1，e^-2]∪[-e^-2，1）；
∴?x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2；
∴該命題正確；
∴正確的命題為③④．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 考查奇函數(shù)的定義，對(duì)于奇函數(shù)，已知一區(qū)間上的解析式，求其對(duì)稱區(qū)間上解析式的方法，函數(shù)零點(diǎn)的定義及求法，指數(shù)函數(shù)的值域，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性和求函數(shù)最值、求函數(shù)值域的方法，可畫圖解本題．