Question

18．已知$\overrightarrow m$=（cosα-$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，-1），$\overrightarrow n$=（sinα，1），$\overrightarrow m$與$\overrightarrow n$為共線向量，且α∈[-$\frac{π}{2}$，0]．
（1）求sinα+cosα的值；        
（2）求$\frac{sin2α}{sinα-cosα}$的值．

Answer 1

分析 （1）由兩向量的坐標，以及兩向量平行時滿足的關(guān)系列出等式，整理即可求出sinα+cosα的值；
（2）將sinα+cosα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$兩邊平方，利用完全平方公式及同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡，求出2sinαcosα的值，再利用完全平方公式及同角三角函數(shù)間基本關(guān)系求出sinα-cosα的值，原式分子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，將各自的值代入計算即可求出值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（cosα-$\frac{\sqrt{2}}{3}$，-1），$\overrightarrow{n}$=（sinα，1），且$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$為共線向量，
∴cosα-$\frac{\sqrt{2}}{3}$=-sinα，
則sinα+cosα=$\frac{\sqrt{2}}{3}$；
（2）把sinα+cosα=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，兩邊平方得：（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=$\frac{2}{9}$，
即2sinαcosα=-$\frac{7}{9}$，
∵α∈[-$\frac{π}{2}$，0]，∴sinα＜0，cosα＞0，即sinα-cosα＜0，
∴（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=$\frac{16}{9}$，即sinα-cosα=-$\frac{4}{3}$，
則原式=$\frac{2sinαcosα}{sinα-cosα}$=$\frac{7}{12}$．

點評 此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用，以及平面向量共線（平行）的坐標表示，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．