Question

5．已知拋物線y²=4px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，圓W：（x+p）²+y²=p²的圓心到過(guò)點(diǎn)F的直線l的距離為p．
（1）求直線l的斜率；
（2）若直線1與拋物線交于A．B兩點(diǎn)．△WAB的面積為8．求拋物線的方程．

Answer 1

分析 （1）圓W：（x+p）²+y²=p²的圓心到過(guò)點(diǎn)F的直線l的距離為p，|FW|=2p，可得直線l的傾斜角為30°，即可求直線l的斜率；
（2）直線方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-p），代入y²=4px，整理可得y²-4$\sqrt{3}$px-4p²=0，利用△WAB的面積為8，求出p，即可求拋物線的方程．

解答 解：（1）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（p，0），則
∵圓W：（x+p）²+y²=p²的圓心到過(guò)點(diǎn)F的直線l的距離為p，|FW|=2p，
∴直線l的傾斜角為30°，斜率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）直線方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-p），代入y²=4px，整理可得y²-4$\sqrt{3}$px-4p²=0，
∴y=（2$\sqrt{3}$±4）p，
∵△WAB的面積為8，
∴$\frac{1}{2}×2p×8p$=8，
∵p＞0，
∴p=1，
∴拋物線的方程為y²=4x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的斜率，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．