Question

6．已知斜率為2的直線l被圓x²+y²+14y+24=0所截得的弦長為$4\sqrt{5}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 先設(shè)直線的方程，再求出圓心到直線的距離，再由半徑的平方等于圓心到直線的距離平方與弦長一半的平方的和建立方程求解．

解答 解：將圓的方程寫成標準形式，得x²+（y+7）²=25，
所以，圓心坐標是（0，-7），半徑長r=5．…（3分）
因為直線l被圓所截得的弦長是$4\sqrt{5}$，
所以，弦心距為$\sqrt{{5^2}-{{（\frac{{4\sqrt{5}}}{2}）}^2}}=\sqrt{5}$，
即圓心到所求直線l的距離為$\sqrt{5}$．…（6分）
因為直線l的斜率為2，所以可設(shè)所求直線l的方程為y=2x+b，即2x-y+b=0．
所以圓心到直線l的距離為$d=\frac{{|{7+b}|}}{{\sqrt{5}}}$，…（9分）
因此，$\frac{{|{7+b}|}}{{\sqrt{5}}}=\sqrt{5}$
解得b=-2，或b=-12．…（11分）
所以，所求直線l的方程為y=2x-2，或y=2x-12．
即2x-y-2=0，或2x-y-12=0．…（13分）

點評 本題主要考查直線方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，在相交時半徑的平方等于圓心到直線的距離平方與弦長一半的平方的和的靈活運用．