Question

1．已知數(shù)列{a_n}的通項公式是a_n=n²+kn+4
（1）若k=-5，則數(shù)列中有多少項是負(fù)數(shù)？n為何值時，a_n有最小值．并求出最小值，
（2）對于n∈N^*，都有a_n+1＞a_n，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將k=-5代入可知a_n=（n-1）（n-4），進而令a_n＜0可得負(fù)數(shù)項，通過配方可得最小值；
（2）通過a_n+1＞a_n化簡得k＞-2n-1，進而可知k＞-2-1=-3．

解答 解：（1）若k=-5，則a_n=n²-5n+4=（n-1）（n-4），
令a_n＜0，則1＜n＜4，
∴數(shù)列中第2、3項共2項為負(fù)數(shù)，
∵f（x）=x²-5x+4是開口向上，對稱軸x=$\frac{5}{2}$的拋物線，
∴當(dāng)n=2或3時，a_n有最小值2²-5×2+4=-2；
（2）依題意，a_n+1＞a_n，即（n+1）²+k（n+1）+4＞n²+kn+4，
整理得：k＞-2n-1，
又∵對于n∈N^*，都有a_n+1＞a_n，
∴k大于-2n-1的最大值，
∴k＞-2-1=-3．

點評 本題考查數(shù)列的遞推式，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題．