Question

2．已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0時，有$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}$＞0成立．
（1）用定義證明f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增；
（2）解不等式f（x+$\frac{1}{2}$）＜f（$\frac{1}{x-1}$）；
（3）若f（x）≤m（m-a）+2對所有的m∈[-3，-$\frac{1}{2}$]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）可以構(gòu)造x₁＜x₂，然后推出f（x₁）＜f（x₂），即f（x₁）-f（x₂）＜0，根據(jù)已知條件及奇偶性可以完成證明；
（2）根據(jù)單調(diào)性和定義域列出關(guān)于x的不等式組，解之即可；
（3）先求出f（x）的最大值，然后兩邊平方去根號，分離參數(shù)a，最后解出關(guān)于a的不等式即可．

解答 （1）證明：由題意，任取-1≤x₁＜x₂≤1，則x₁-x₂＜0，
令x₁=a，-x₂=b，代入$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}$＞0得$\frac{f（{x}_{1}）+f（{-x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}＞0$，
又因為f（x）為奇函數(shù)，所以f（-x₂）=-f（x₂），
代入上式得f（x₁）-f（x₂）＜0，
所以f（x₁）＜f（x₂），
故該函數(shù)在[-1，1]上為增函數(shù)．
（2）解：由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x+\frac{1}{2}≤1}\\{-1≤\frac{1}{x-1}≤1}\\{x+\frac{1}{2}＜\frac{1}{x-1}}\end{array}\right.$，化簡得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}≤x≤\frac{1}{2}}\\{x≥2或x≤0}\\{x＜-1或1＜x＜\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得-$\frac{3}{2}$≤x＜-1；
（3）解：由f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，
可得f（x）的最大值為f（1）=1，
由題意可得1≤m（m-a）+2對所有的m∈[-3，-$\frac{1}{2}$]恒成立，
即為a≥m+$\frac{1}{m}$對所有的m∈[-3，-$\frac{1}{2}$]恒成立，
由m+$\frac{1}{m}$≤-2，當且僅當m=-1∈[-3，-$\frac{1}{2}$]，
可得m+$\frac{1}{m}$的最大值為-2，
即有a≥-2．

點評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運用，主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷及運用，同時考查不等式的解法和不等式恒成立問題，注意運用參數(shù)分離，考查運算能力，屬于中檔題．