Question

12．設(shè)集合A={x|x²-2x-8＜0，x∈Z}，
（1）從集合A中任取兩個(gè)元素a，b且a•b≠0，寫出全部可能的基本結(jié)果；  
（2）求方程$\frac{x^2}{a}$+$\frac{y^2}$=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的概率；   
（3）若A={x|x²-2x-8＜0}，求方程$\frac{x^2}{a}$+$\frac{y^2}$=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的概率．

Answer 1

分析 （1）先求出集合A，由此利用列舉法能求出（a，b）的所有可能取法．
（2）$\frac{{x}^{2}}{a}+\frac{{y}^{2}}$=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，有a＞b＞0，由此能求出方程$\frac{x^2}{a}$+$\frac{y^2}$=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的概率．
（3）由A={x|x²-2x-8＜0}={x|-2＜x＜4}，能求出方程$\frac{x^2}{a}$+$\frac{y^2}$=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的概率．

解答 解：（1）集合A={x|x²-2x-8＜0，x∈Z}={x|-2＜x＜4，x∈Z}={-1，0，1，2，3 }，（ 2分）
由條件知，（a，b）的所有可能取法有：
（-1，1），（-1，2），（-1，3），（1，2），（1，3），（2，3），
（1，-1），（2，-1），（3，-1），（2，1），（3，1），（3，2），共12種，（ 4分）
（2）$\frac{{x}^{2}}{a}+\frac{{y}^{2}}$=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，有a＞b＞0，
∴有（2，1），（3，1），（3，2）共3種，（7分）
∴方程$\frac{x^2}{a}$+$\frac{y^2}$=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的概率P₁=$\frac{1}{4}$．（ 8分）
（3）A={x|x²-2x-8＜0}}={x|-2＜x＜4}，
方程$\frac{x^2}{a}$+$\frac{y^2}$=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的概率$P=\frac{{\frac{1}{2}×4×4}}{6×6}=\frac{2}{9}$．（ 13分）

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意一元二次不等式、橢圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．