Question

16．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=2，CC₁=$\sqrt{2}$，則異面直線AB₁和BC₁所成角的余弦值為（　�。�

• A． 0
• B． $\frac{\sqrt{42}}{7}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 連接B₁C交BC₁于E，連接DE，利用四邊形BCC₁B₁是平行四邊形及其三角形的中位線定理證明DE∥AB₁，可得∠DEB或其補角為異面直線AB₁與BC₁所成的角，再利用余弦定理即可得出．

解答 解：如圖所示
連接B₁C交BC₁于E，連接DE，
∵四邊形BCC₁B₁是平行四邊形，∴B₁E=EC．
又AD=DC．
∴DE∥AB₁，
∴∠DEB或其補角為異面直線AB₁與BC₁所成的角，
在△DEB中，DE=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，BD=$\sqrt{3}$，BE=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴cos∠DEB=$\frac{\frac{6}{4}+\frac{6}{4}-3}{2•\frac{6}{4}•\frac{6}{4}}$=0，
∴異面直線AB₁和BC₁所成角的余弦值為0．
故選：A．

點評 本題考查了正三棱柱的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、三角形的中位線定理異面直線所成的角、余弦定理等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．