Question

1．已知正六邊形A₁A₂…A₆內(nèi)接于圓O，點P為圓O上一點，向量$\overrightarrow{OP}$與$\overrightarrow{O{A_i}}$的夾角為θ_i（i=1，2，…，6），若將θ₁，θ₂，…，θ₆從小到大重新排列后恰好組成等差數(shù)列，則該等差數(shù)列的第3項為$\frac{5π}{12}$．

Answer 1

分析 可假設該等差數(shù)列的前三項分別為θ₁，θ₂，θ₃，然后畫出圖形，通過圖形便可看出${θ}_{2}=\frac{π}{3}-{θ}_{1}，{θ}_{2}=\frac{π}{3}+{θ}_{1}$，根據(jù)該數(shù)列為等差數(shù)列便可求出θ₁，從而求出θ₃，即得出該等差數(shù)列的第三項的值．

解答 解：設組成等差數(shù)列的前三項為：θ₁，θ₂，θ₃，如圖，$∠{A}_{1}OP={θ}_{1}，{θ}_{1}＜\frac{π}{6}$，則：
${θ}_{2}=\frac{π}{3}-{θ}_{1}，{θ}_{3}=\frac{π}{3}+{θ}_{1}$；
θ₁，θ₂，θ₃成等差數(shù)列；
∴2θ₂=θ₁+θ₃；
即$\frac{2π}{3}-2{θ}_{1}={θ}_{1}+\frac{π}{3}+{θ}_{1}$；
∴${θ}_{1}=\frac{π}{12}$；
${θ}_{3}=\frac{5π}{12}$；
即該等差數(shù)列的第三項為$\frac{5π}{12}$．
故答案為：$\frac{5π}{12}$．

點評 考查對圓內(nèi)接正六邊形的認識，數(shù)形結(jié)合解題的方法，等差數(shù)列的概念，及等差中項的概念．