Question

12．已知點(diǎn)A（1，1），B（2，1），C（1，2），若-1≤λ≤2，2≤μ≤3，則$|{λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}}|$的取值范圍是（　�。�

• A． [1，10]
• B． $[{\sqrt{5}，\sqrt{13}}]$
• C． [1，5]
• D． $[{2，\sqrt{13}}]$

Answer 1

分析 用坐標(biāo)表示出λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$以及模長(zhǎng)，根據(jù)λ、μ的取值范圍，轉(zhuǎn)化為不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最值問(wèn)題，即可求出答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}$=（1，0），$\overrightarrow{AC}$=（0，1），
∴λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$=（λ，μ），
∴|λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{{λ}^{2}{+μ}^{2}}$；
又∵-1≤λ≤2，2≤μ≤3，
∴λ、μ滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{-1≤λ≤2}\\{2≤μ≤3}\end{array}\right.$，
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，得到如圖所示的矩形CDEF及其內(nèi)部區(qū)域，
其中C（2，2），D（2，3），E（-1，3），F(xiàn)（-1，2），
則區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最小值為|OP|=2，
最大值為|OD|=$\sqrt{{2}^{2}{+3}^{2}}$=$\sqrt{13}$；
∴$|{λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}}|$的取值范圍是[2，$\sqrt{13}$]．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的坐標(biāo)應(yīng)用問(wèn)題，也考查了線性規(guī)劃的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．